分享：基于機器學習的GH4169合金本構(gòu)參數(shù)反演方法

0.   引言

在如今的航空發(fā)動機制造工藝中,慣性摩擦焊技術(shù)被視為核心粉末冶金部件的關(guān)鍵焊接方法,對推進航空發(fā)動機性能的提升和輕量化水平的提高具有重要意義[1]。慣性摩擦焊技術(shù)通過兩工件之間的旋轉(zhuǎn)摩擦產(chǎn)生熱量,使材料的焊接位置處于塑性狀態(tài),并在頂鍛力的作用下使材料發(fā)生塑性變形與擴散,從而實現(xiàn)焊接[2-3]。在有關(guān)航空發(fā)動機部件焊接工藝的研究中,數(shù)值模擬方法的應(yīng)用日趨成熟。慣性摩擦焊工藝過程的仿真是一個典型的熱-力耦合、多物理場、大應(yīng)變、非線性的過程,材料高溫性能參數(shù)的準確獲取對其計算過程和結(jié)果均有較大的影響[4]。材料性能的表達方法有很多,其中Johnson-Cook（J-C）本構(gòu)模型因結(jié)構(gòu)形式簡單、參數(shù)簡單、物理意義明確而被廣泛用來描述金屬材料在高應(yīng)變速率和高溫下的行為特征[5-6]。在有限元計算過程中,準確的J-C模型參數(shù)是獲得準確仿真結(jié)果的重要前提。 

GH4169鎳基高溫合金是航空發(fā)動機核心部件制造的常用材料,其比強度高、耐熱性好,且具有良好的抗疲勞、耐腐蝕性能以及出色的加工性能、焊接性能和組織穩(wěn)定性[7-8]。國內(nèi)外學者已經(jīng)對GH4169合金的性能開展了大量研究[9-10],但由于高昂的試驗成本,對于其在工作溫度以上的力學性能尚未進行詳細的研究,相關(guān)性能數(shù)據(jù)也較為匱乏。高溫物理性能的準確表征決定著相關(guān)有限元仿真結(jié)果的可信度。因此,以較低試驗成本獲取高溫物理性能對于推進高溫合金慣性摩擦焊接工藝的研究具有重要意義。 

近年來,人工智能的發(fā)展極為迅速,其中極具代表性的機器學習方法由于能高效模擬輸入變量和輸出變量之間的非線性關(guān)系,逐漸被用于材料性能表征、性能預(yù)測等領(lǐng)域,例如：基于有限元和智能算法反演骨骼肌的本構(gòu)參數(shù)[11]、多組分Fe-Cr基合金的力學性能預(yù)測[12]、左心室力學性能參數(shù)預(yù)測[13]等。有限元系統(tǒng)基于物理定律,使得有限元-機器學習方法能夠有效地把握正向力學問題,這為反向傳播提供了有力的支持,而利用可靠的正演模型進行反演分析是識別材料性能的有效手段[14-15]。作者采用拉丁超立方采樣方法對GH4169合金J-C本構(gòu)參數(shù)空間進行均勻采樣,導(dǎo)入有限元模型得到對應(yīng)參數(shù)組合的應(yīng)力-應(yīng)變曲線,以應(yīng)力-應(yīng)變曲線數(shù)據(jù)為輸入,J-C本構(gòu)參數(shù)為輸出,采用前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（FNN）模型、隨機森林（RF）模型、循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）模型進行訓練,同時對模型進行了貝葉斯超參數(shù)優(yōu)化,對比分析了各模型反演本構(gòu)參數(shù)的能力和準確性。 

1.   試驗方法

試驗材料為時效態(tài)GH4169合金,試樣尺寸為?8 mm×12 mm。采用Gleeble 3800型熱力模擬試驗機進行單軸高溫壓縮試驗,試驗溫度分別為850,900,950,1 000,1 050 ℃,保溫時間為10 min,壓頭下壓速度為12 mm·s−1。在試驗前采用電焊機在試樣上焊接K型熱電偶,熱電偶的另一端連接至熱模擬機上,試驗結(jié)束后獲得應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù),不同試驗溫度下測3次取平均值。 

2.   有限元模擬

2.1   有限元建模

按照試驗方法建立如圖1所示的由剛性壓頭及塑性圓柱體部件構(gòu)成的剛-塑性有限元模型,由于模型的幾何形狀和邊界條件具有軸對稱性,所以簡化成軸對稱模型。該軸對稱模型由155個CAX4I單元（4節(jié)點雙線性非協(xié)調(diào)軸對稱）和617個節(jié)點組成,網(wǎng)格劃分近似全局尺寸為0.6。 

圖  1  GH4169合金單軸高溫壓縮試驗的三維模型和軸對稱模型

Figure  1.  Three-dimensional model (a) and axisymmetric model (b) for uniaxial high-temperature compression test of GH4169 alloy

對模型施加邊界條件：圓柱體和壓頭間定義為無摩擦的面面接觸,固定約束對稱軸上的徑向位移和底邊的軸向位移,對剛性壓頭施加下壓速度為12 mm·s−1的載荷,此時應(yīng)變速率為1 s−1。對模型施加預(yù)定義溫度場,以模擬壓縮試驗時圓柱體的溫度。模型中包含2個分析步：第1個分析步中壓頭在−y方向以12 mm·s−1的速度移動0.25 s,建立接觸的臨界狀態(tài)；第2個分析步中壓頭在−y方向以12 mm·s−1的速度繼續(xù)移動0.25 s,即進給3 mm,用于模擬單軸壓縮過程。 

2.2   J-C本構(gòu)模型數(shù)據(jù)集獲取

J-C本構(gòu)模型由等效應(yīng)變函數(shù)、等效應(yīng)變速率函數(shù)和溫度函數(shù)三部分組成,具體形式如下： 

式中：σ為等效流變應(yīng)力；ε為等效塑性應(yīng)變；${\stackrel{<span\; style="font-size:\; 16px;\; color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 16px;\; color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">?</span>}}}^{<span\; style="font-size:\; 16px;\; color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">*</span>}$為無量綱塑性應(yīng)變速率；$\stackrel{<span\; style="font-size:\; 16px;\; color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 16px;\; color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">?</span>}}$為塑性應(yīng)變速率；${\stackrel{<span\; style="font-size:\; 16px;\; color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 16px;\; color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">?</span>}}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 16px;\; color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">0</span>}}$為參考應(yīng)變速率；T*為無量綱溫度；T為熱力學溫度；Tm為熔化溫度；Tr為參考溫度,室溫；A, B, n, C, m均為材料常數(shù),其中A為參考溫度和參考應(yīng)變速率下的屈服應(yīng)力,B為應(yīng)變硬化系數(shù),n為應(yīng)變硬化指數(shù),C和m分別為應(yīng)變硬化系數(shù)和熱軟化指數(shù)[6]。 

GH4169合金的J-C本構(gòu)參數(shù)為5個材料參數(shù)A,B,n,C和m,根據(jù)文獻[16-19],這5個本構(gòu)參數(shù)取值范圍,即本構(gòu)參數(shù)空間分別為400~2 000,500~2 000,0.01~1,0.000 5~0.05,0.6~2。為了保證數(shù)據(jù)集的均勻性,提高訓練后模型的魯棒性。采用拉丁超立方采樣（Latin hypercube sampling,LHS）方法[20]對本構(gòu)參數(shù)空間進行采樣。LHS是一種統(tǒng)計采樣方法,用于在多維參數(shù)空間中選擇樣本點,相比于傳統(tǒng)的隨機均勻采樣方法,能夠更好地覆蓋參數(shù)空間并減小采樣偏差。多次采樣能表征更全面和均勻的參數(shù)空間。對于預(yù)估的40 000組采樣點,一共進行40次LHS采樣,每次采樣1 000組。將采樣生成的本構(gòu)方程參數(shù)導(dǎo)入前文建立的有限元模型進行計算,獲取本構(gòu)參數(shù)與應(yīng)力-應(yīng)變曲線之間對應(yīng)關(guān)系的數(shù)據(jù)集（40 000組）。將數(shù)據(jù)集分割成訓練集和測試集,其中測試集數(shù)據(jù)量占比為20%。 

2.3   機器學習算法

前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（FNN）是一種前向傳播結(jié)構(gòu)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),包含輸入層、輸出層和若干個隱藏層。由于其每個神經(jīng)元均與上一層的所有神經(jīng)元相連,同時附帶權(quán)重和偏置,因此可以擬合輸入特征之間的復(fù)雜關(guān)系。同時,每個神經(jīng)元都使用非線性激活函數(shù),可使模型學習變量之間呈現(xiàn)非線性關(guān)系。FNN模型使用均方誤差作為損失函數(shù),以最小化損失函數(shù)為模型迭代方向。對于基于應(yīng)力-應(yīng)變曲線的J-C本構(gòu)參數(shù)識別,FNN模型的訓練流程如圖2所示。 

圖  2  FNN模型訓練流程圖

Figure  2.  Flowchart for FNN model training

隨機森林（RF）模型[21]是一種經(jīng)典的機器學習方法,其運用了集成學習的思想,屬于集成學習中的Bagging算法。通過對數(shù)據(jù)集（樣本數(shù)為N）進行M次有放回抽樣（bootstrap采樣）,得到M個含有N個訓練樣本的采樣集,并在各個樣本集上進行基學習器的訓練,最終得到M個訓練好的基學習器。將所有基學習器的預(yù)測結(jié)果進行加權(quán)平均處理,得到最終的預(yù)測結(jié)果。隨機森林模型具有強大的非線性關(guān)系擬合能力[22],其原理如圖3所示。 

圖  3  隨機森林原理示意

Figure  3.  Schematic of random forest principles

與傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比,循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）最大的不同在于可以在訓練過程中保留數(shù)據(jù)之間的前后序列關(guān)系,通過循環(huán)連接的方式,使網(wǎng)絡(luò)在每個序列中接收當前輸入和前一個序列步的隱藏狀態(tài),同時輸出新的隱藏狀態(tài)和輸出。圖4為典型RNN模型結(jié)構(gòu),對每個t時刻,在RNN的主體A中輸入當前時刻的Xt和前一個時刻的狀態(tài)ht−1,輸出當前時刻的y和傳遞到下一個時刻的狀態(tài)ht。這種結(jié)構(gòu)能讓RNN捕捉序列中的時序信息及依賴關(guān)系。對于基于應(yīng)力-應(yīng)變曲線的J-C本構(gòu)參數(shù)識別,輸入為應(yīng)力-應(yīng)變曲線,而在應(yīng)變速率恒定的條件下,輸入是標準的時序數(shù)據(jù),因此可使用RNN模型進行訓練。 

圖  4  RNN模型原理示意

Figure  4.  Schematic of RNN model principles

RF模型與RNN模型訓練中所使用數(shù)據(jù)集與FNN模型所使用數(shù)據(jù)集保持一致,以保證最終結(jié)果的可信度。在pycharm平臺上基于python語言實現(xiàn)上述算法的運行。 

3.   模型訓練及參數(shù)預(yù)測結(jié)果

3.1   數(shù)據(jù)集處理

為了消除不同特征之間的尺度差異,加快模型收斂速率,改善特征的權(quán)重計算過程,使用數(shù)據(jù)標準化的方法將數(shù)據(jù)映射到均值為0、標準差為1的標準正態(tài)分布。數(shù)據(jù)標準化的計算公式為 

式中：X*為經(jīng)過標準化處理的數(shù)據(jù)；X為原數(shù)據(jù)；$\stackrel{<span\; style="font-size:\; 16px;\; color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">¯</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 16px;\; color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">?</span>}}$為原數(shù)據(jù)的均值；Xstd為原數(shù)據(jù)的標準差。 

3.2   貝葉斯超參數(shù)優(yōu)化

對于常見的機器學習或者深度學習模型,不同于模型參數(shù)影響模型在特定任務(wù)上的性能,超參數(shù)會影響模型的學習過程。通常,超參數(shù)基于經(jīng)驗、交叉驗證等方式進行選擇[23]。作者使用貝葉斯超參數(shù)優(yōu)化的方法尋找最優(yōu)超參數(shù)；不同于傳統(tǒng)的網(wǎng)格搜索方法,該方法基于高斯過程模型,建立目標函數(shù)的先驗和后驗分布,對后驗分布進行評估后再做出更優(yōu)的選擇,該方法可有效提高超參數(shù)搜索的效率。在超參數(shù)優(yōu)化過程中以均方誤差為目標函數(shù)。經(jīng)過超參數(shù)優(yōu)化后,FNN模型的學習率為0.002 2,隱藏層數(shù)為5,隱藏層神經(jīng)元個數(shù)為61；RF模型的決策樹個數(shù)為50,最大數(shù)深度為43,最小分割葉子節(jié)點數(shù)為3；RNN模型的學習率為0.000 66,隱藏層數(shù)為47,隱藏層神經(jīng)元個數(shù)為5。 

3.3   參數(shù)預(yù)測結(jié)果

以決定系數(shù)R2評估訓練后模型的測試集性能,其定義如下： 

式中：yi為第i組本構(gòu)參數(shù)實際值；yp為本構(gòu)參數(shù)預(yù)測值；$\stackrel{<span\; style="font-size:\; 16px;\; color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">¯</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 16px;\; color:\; rgb(0,\; 0,\; 0);">?</span>}}$為本構(gòu)參數(shù)平均值。 

模型回歸性能越好,預(yù)測值越接近真實值,R2越接近1。結(jié)果顯示：FNN模型、RF模型和RNN模型測試集的R2分別為0.847,0.499,0.741。在本構(gòu)參數(shù)反演問題中,RF模型的測試集表現(xiàn)最差,FNN模型的測試集表現(xiàn)最好?？芍?RF模型不適合J-C本構(gòu)參數(shù)的反演。 

3.4   試驗驗證與結(jié)果分析

以試驗得到的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線為輸入,采用FNN模型和RNN模型反演得到各溫度下的J-C本構(gòu)參數(shù),然后利用有限元仿真獲取反演預(yù)測曲線,通過對比反演預(yù)測曲線和試驗曲線的接近程度驗證預(yù)測參數(shù)的可靠性。對試驗曲線進行非線性擬合,獲取擬合本構(gòu)參數(shù),再基于擬合參數(shù)進行有限元仿真,獲取擬合預(yù)測曲線。將反演預(yù)測曲線及擬合預(yù)測曲線與試驗曲線進行對比,并計算預(yù)測曲線的平均相對誤差。由圖5可以看出：FNN模型反演預(yù)測曲線與試驗曲線更加吻合,平均相對誤差比RNN模型反演預(yù)測曲線和擬合預(yù)測曲線分別低約11.9%和2.1%,RNN模型反演預(yù)測曲線的平均相對誤差比擬合預(yù)測曲線高約9.8%,說明RNN模型反演本構(gòu)參數(shù)的準確性較差?；贔NN和RNN機器學習模型預(yù)測得到曲線塑性階段的變化趨勢比擬合預(yù)測曲線更符合試驗曲線,但是在彈性階段,反演預(yù)測曲線彈性階段更短,屈服點在0.2%真應(yīng)變附近,而試驗曲線的屈服點在5%真應(yīng)變附近。反演預(yù)測曲線不能很好地表征GH4169合金高溫壓縮過程的頸縮階段,與試驗曲線偏差較大,分析原因為J-C本構(gòu)模型描述金屬頸縮階段的能力存在不足,從而影響了機器學習模型的性能,后續(xù)可以采用修正后的本構(gòu)模型如Arrhenius-type模型等以提高預(yù)測精度。綜上,FNN模型反演得到的J-C本構(gòu)參數(shù)對GH4169合金應(yīng)力-應(yīng)變曲線的預(yù)測能力良好,而RNN模型的預(yù)測能力差。 

圖  5  由不同模型反演J-C本構(gòu)參數(shù)和試驗曲線擬合本構(gòu)參數(shù)預(yù)測得到的不同溫度下的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線與試驗曲線以及平均相對誤差

Figure  5.  True stress-true strain curves at different temperatures obtained by inversion of J-C constitutive parameters by different models and fitting of test curves and by test (a–e) and their average relative errors (f)

4.   結(jié)論

（1）在GH4169合金的本構(gòu)參數(shù)反演問題中,FNN模型、RF模型和RNN模型測試集的決定系數(shù)R2分別為0.847,0.499,0.741,FNN模型的表現(xiàn)最佳,而RF模型的表現(xiàn)最差,不適用于材料本構(gòu)參數(shù)的反演。 

（2）由FNN模型反演J-C本構(gòu)參數(shù)預(yù)測得到的850~1 050 ℃下GH4169合金的壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗曲線更加吻合,其平均相對誤差比由RNN模型反演J-C本構(gòu)參數(shù)和試驗曲線擬合本構(gòu)參數(shù)預(yù)測得到的曲線分別低約11.9%和2.1%。FNN模型反演得到的J-C本構(gòu)參數(shù)對GH4169合金應(yīng)力-應(yīng)變曲線的預(yù)測能力良好,驗證了通過選擇合適機器學習方法反演本構(gòu)參數(shù)的可行性。

文章來源——材料與測試網(wǎng)